Question

求向量组α1=（1，1，2，-1）

求向量组α1:（1，1，2，-1），α2=（0，1，2，-1），α3=（0，0，1，0），α4=（0，0，0，1），α5=（1，2，4，-3）的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示

Answer 1

我们可以将这五个向量排成一个矩阵A，然后通过高斯消元法将A矩阵化为行最简矩阵R。在此过程中，我们可以得到A的秩r，以及一些行向量所在的行号，它们构成的向量组就是一个极大线性无关组。而其他的向量都可以通过极大线性无关组线性表示。
具体地，将这五个向量排成矩阵A如下：
A = [1 0 0 0 1; 1 1 0 0 2; 2 2 1 0 4; -1 -1 0 1 -3]
矩阵A进行高斯消元变换，得到它的行最简矩阵R如下：
R = [1 0 0 0 1; 0 1 0 0 1; 0 0 1 0 1; 0 0 0 1 1]
因此，矩阵A的秩r=4，所以向量组α1，α2，α3，α4的秩也为4，它们就是一个极大线性无关组。而α5可以通过向量组α1，α2，α3，α4线性表示：
α5 = 2α1 + 3α2 + 2α3 - 4α4
因此，α1，α2，α3，α4就是一个极大线性无关组，α5可以通过它们线性表示。

Answer 2

首先将这些向量组成一个矩阵 $A$，并进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 $R$ 和对应的列阶梯形矩阵 $C$：
�=[100011100222104−1−101−3]→初等行变换�=[1000101001001010001−1]A=⎣⎡112−1012−100100001124−3⎦⎤初等行变换R=⎣⎡1000010000100001111−1⎦⎤
可以看出矩阵 $R$ 的前 $4$ 列是单位矩阵，因此向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关。向量 $\alpha_5$ 可以表示为：
�5=�[−11−210]=[124−3]−[112−1]+2[0010]−[0001]=�5−�1+2�3−�4α5=A⎣⎡−11−210⎦⎤=⎣⎡124−3⎦⎤−⎣⎡112−1⎦⎤+2⎣⎡0010⎦⎤−⎣⎡0001⎦⎤=α5−α1+2α3−α4
因此，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是一个极大线性无关组，它们的秩为 $4$，向量 $\alpha_5$ 可以用这个极大线性无关组线性表示为 $\alpha_5 = \alpha_5 - \alpha_1 + 2\alpha_3 - \alpha_4$。

Answer 3

对于向量组$a_1=(1,1,2,-1)$，如果您需要对其进行操作，以下是一些常见的操作和示例：
1.向量加法：如果有另一个向量$b=(3,-1,4,2)$，则可以将向量组$a_1$和$b$相加：
$$a_1 + b = (1,1,2,-1) + (3,-1,4,2) = (4,0,6,1)$$
2.向量数量乘法：可以将向量组$a_1$的所有元素乘以一个标量$c=2$：
$$c a_1 = 2(1,1,2,-1) = (2,2,4,-2)$$
3.向量点积：如果有另一个向量$b=(3,-1,4,2)$，则可以计算向量组$a_1$和$b$的点积：
$$a_1 \cdot b = (1,1,2,-1) \cdot (3,-1,4,2) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 10$$
4.向量叉积：向量组$a_1$只有一个向量，因此无法计算向量组$a_1$的叉积。
5.向量范数：可以计算向量组$a_1$的范数：
$$|a_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{7}$$
6.向量单位化：可以将向量组$a_1$单位化，得到其方向相同、长度为$1$的向量：
$$\hat{a}_1 = \frac{a_1}{|a_1|} = \frac{1}{\sqrt{7}}(1,1,2,-1)$$

Answer 4

首先将向量组写成矩阵形式，并对其进行初等行变换：
JavaScriptCopy code1 0 0 0 1
1 1 0 0 2
2 2 1 0 4-1 -1 0 1 -3

对矩阵进行高斯消元，得到其阶梯形矩阵形式：
Copy code1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 1 -1

因此，该向量组的秩为4。其中，$\alpha_1$、$\alpha_2$、$\alpha_3$、$\alpha_4$是一个极大线性无关组。
对于剩余的向量$\alpha_5$，我们需要将其用该极大无关组线性表示。根据行变换的原理，只需要将$\alpha_5$用$\alpha_1$、$\alpha_2$、$\alpha_3$、$\alpha_4$线性表示即可。
令$\alpha_5$在该极大无关组下的线性组合为：
$$\alpha_5 = a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + a_3\alpha_3 + a_4\alpha_4$$
即，
$$\begin{pmatrix}1\2\4\-3\end{pmatrix} = a_1\begin{pmatrix}1\1\2\-1\end{pmatrix} + a_2\begin{pmatrix}0\1\2\-1\end{pmatrix} + a_3\begin{pmatrix}0\0\1\0\end{pmatrix} + a_4\begin{pmatrix}0\0\0\1\end{pmatrix}$$
解得：
$$a_1 = 1，\四边形 a_2 = 1，\四边形 a_3 = -1，\四边形 a_4 = 0$$
因此，$\alpha_5$可以表示为：
$$\alpha_5 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$$
其中，$\alpha_1$、$\alpha_2$、$\alpha_3$是该向量组的一个极大线性无关组。

Answer 5

b1=(2, 3, 4, -2)
求a1+b1的结果？
AI:a1+b1=(3, 4, 6, -3)