Question

圆的切线方程推导

Answer 1

                                   

可以用向量推导（比较直接）
若点A(x0,y0)在圆C：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上,圆心C(a,b)
点P(x,y)在过点A做出的圆C的切线上
那么向量AP·向量AC=0
得到(x-x0,y-y0)·(a-x0,b-y0,)=0
即(x-x0)(a-x0)+(y-y0)(b-y0)=0……①
而由A在圆C上可得：(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2……②
①减② 简单地提取公因式略加化简 可得 (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2,此即P点方程,即切线方程
如果点A在圆C外部,过A点可做圆C的两条切线分别切圆C于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点.
那么有:(x1-a)(x0-a)+(y1-b)(y0-b)=r^2
(x2-a)(x0-a)+(y2-b)(y0-b)=r^2
所以点M(x1,y1)、N(x2,y2)都满足方程 (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
由两点确定一条直线可知直线MN的方程是 (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
这叫做切点弦方程（不是切线方程,虽然形式一样）