Question

二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c，a+b+c=0（a、b、c∈R）.

(1)求证俩函数的图像交于不同的俩点A,B.
(2)设A(X1,YI),B(X2,Y2)`求|x2-x1|的取值范围
（3）求证方程 f(x)-g(x)=0的俩跟都小于2
谢谢 我要详解

Answer 1

(1)联立2个方程
解出ax2+2bx+c = 0
Δx=4*b2-4*a*c
a一定大于0，否则a+b+c<0;
c一定小于0，否则a+b+c>0;
所以a*c<0,所以Δx>0
所以有2个交点。
（2）|x2-x1|=2*√(b2-a*c) /a
=2*√(a2+c2+a*c)/a
=2*√(1+(c/a)2+c/a)
根号内相当于x2+x+1的形式，所以有最小值
√3，所以，取值为>=√3。
(3)同2，化简后，
x = 1+c/a +(-) √(1+(c/a)2+c/a)
证明小于2的话只考虑+的情况。
换元z=c/a;对两边求导，
x' = 1-(z+0.5) / √(1+z2+z)
因为（z+0.5）2< 1+z2+z
所以x'恒为正，为单调增。
又因为z = c/a,由（1）知 c/a<0;
所以z的极大的极限为0，此时 x=2;
z娶不到0，所以x一定小于2。

Answer 2

二次函数，a≠0，a>b>c, 0=a+b+c<a+a+a=3a, a>0; 同理可证c<0.
1) 相交，则有ax^2+bx+c=-bx, >>> ax^2+2bx+c=0.
只要证明其△>0,则有两个不相等的实数根，交于不同两点A,B
△=4b^2-4ac=4(b^2-ac).
b^2>=0, -ac>0, 则△>0

2) 根据韦达定理：x1+x2=-2b/a, x1*x2=c/a
|x2-x1|^2=(x2+x1)^2-4x1*x2=4(b^2-ac)/a^2=4[1+c/a+(c/a)^2]=4[(c/a)+1/2]^2+3>=3, :. |x2-x1|>=sqrt3

3)f(x)-g(x)=ax^2+2bx+c=0, c<0, a>0,开口向上。
又f(2)-g(2)=4a+4b+c=4(a+b+c)-3c=-3c>0，且有函数f(x)－g(x)的图象的对称轴为x=-b/a=(a+c)/a=1+c/a<1<2,
则方程f(x)－g(x)=0的两根均小于2