Question

3.求矩阵 3 -2 2-1 的特征值和特征向量.

Answer 1

首先，特征值 $\lambda$ 是满足方程 $|A-\lambda I|=0$ 的解，其中 $A$ 是矩阵，$I$ 是单位矩矩
\begin{vmatrix}
3-\λ & -2 \\
2 & -1-\lambda
\
解这个方程，得到特征值为 $\lambda_1 = 2$ 和 $\lambda_2 = -2$。
接下来，我们需要求出每个特征值对应的特征向量。对于特征值 $\lambda_1 = 2$，我们需要求解下面的方程组：
\开始
化简得到：
\开始{案例}
x-2y=0 \\
2x+1y=0
\
解得 $x = y$。因此，一个特征向量为 $\begin{bmatrix}1 \ 2\end{bmatrix}$。
对于特征值 $\lambda_2 = -2$，我们需要求解下面的方程组：
\begin{bmatrix}
3+2 & -2 \\
2 & -1+2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\结束
化简得到：
\开始{案例}
5x-2y=0 \\
2x+1y=0
解得 $x = \frac{2}{5}y$。因此，另一个特征向量为 $\begin{bmatrix}2 \ -5\end{bmatrix}$。
因此，矩阵 $A$ 的特征值为 $2$ 和 $-2$，对应的特征向量为 $\begin{bmatrix}1 \ 2\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}2 \ -5\end{bmatrix}$。