Question

20.M是抛物线 y^2=4x 上一点,若点M到焦点F的距离等于6,求点M的坐标

Answer 1

对于抛物线 y^2=4x，它的焦点坐标为 (1,0)。因此，我们可以利用点到焦点的距离公式来求解 M 点的坐标。
设点 M 的坐标为 (x, y)，则 M 点到焦点 F 的距离为：
d = √[(x-1)^2 + y^2]
已知 M 点到焦点 F 的距离为 6，因此有：
√[(x-1)^2 + y^2] = 6
两边平方，得：
(x-1)^2 + y^2 = 36
又因为点 M 在抛物线上，所以有：
y^2 = 4x
将 y^2 = 4x 代入上式，得：
(x-1)^2 + 4x = 36
化简，得：
x^2 - 2x - 11 = 0
根据求根公式，解得：
x = 1 + √12 或 x = 1 - √12
因为点 M 在抛物线上，所以代入 y^2 = 4x 可以得到对应的 y 坐标：
当 x = 1 + √12 时，有 y^2 = 4(1 + √12) = 16 + 16√3，因此 y = ±2√(1 + √3)
当 x = 1 - √12 时，有 y^2 = 4(1 - √12) = -16 + 16√3，此时 y 必须为虚数，因此该解舍去。
综上所述，点 M 的坐标为 (1 + √12, ±2√(1 + √3))。