Question

如果函数的图像关于原点对称，那么函数是奇函数吗？

Answer 1

那么如果把函数向左平移a个单位，再向下平移b个单位的话，新函数将是奇函数。

y=f(x)

函数图象关于点（a，b）对称，则有：

f(a-x)+f(a+x)=2b

设函数f(X)关于点（a,b）对称的函数是g(x)

在函数g(x)的图像上任取一点(x,y)

设点(x,y)关于点（a,b）的对称点是(m,n),则点(m,n)在函数f(X)的图像上。

根据中点坐标公式知：x+m=2a,y+n=2b

所以m=2a-x,n=2b-y

因为点(m,n)在函数f(X)的图像上

所以n=f(m)

即有2b-y=f(2a-x)

Y=2b-f(2a-x),这就是所求的函数解析式。

几何含义

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。