Question

设A为实对称矩阵，且A2=E.证明：A+E是半正定或正定矩阵.

Answer 1

【答案】：证法1 由A²=E及A为实对称矩阵知，A的特征值只能是±1，因此A+E的特征值只能是2或0，故A+E是半正定矩阵(因A+E的特征值全非负)或正定矩阵(当A+E的特征值全为2时).
证法2 设A的最小特征值为λ₁，则λ₁≥-1，于是由瑞利原理，对任意x≠0，有x^TAx≥λ₁x^Tx.所以对任意x≠0，有x_T(A+E)x=x^TAx+x^Tx≥λ₁x^Tx+x^Tx=(λ₁+1)x^Tx≥0，因此A+E是半正定或正定矩阵.