Question

用定义证明y=f(X)在(1,+∞)上是严格增函数其中f(X)=X²十2/X？

Answer 1

要证明函数 y = f(X) = X² - 2/X 在区间 (1, +∞) 上是严格增函数，我们需要证明对于任意的 x1 和 x2，其中 x1 > x2，有 f(x1) > f(x2)。
首先，我们计算函数 f(X) 的导数。对于 f(X) = X² - 2/X，我们可以使用求导法则来计算导数。
f'(X) = (2X + 2/X²)
接下来，我们需要证明在区间 (1, +∞) 上，f'(X) 大于零，即 f'(X) > 0。
对于任意的 X > 1，我们有：
f'(X) = (2X + 2/X²) > 0
我们可以将 f'(X) 分解为两个部分：
2X > 0 和 2/X² > 0
由于 X > 1，所以 2X > 0 总是成立。
对于 2/X² > 0，我们可以观察到分子和分母都是正数，所以 2/X² > 0 总是成立。
因此，对于任意的 X > 1，f'(X) > 0，即在区间 (1, +∞) 上，函数 f(X) 是严格增函数。