Question

求关于x趋于1时arcsinx/x-1/x-1的极限

Answer 1

要求极限 lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)], 首先注意到在 x=1 处，分母和分子都为 0，所以直接带入 x=1 会导致不确定型式 0/0。
我们可以利用洛必达法则来求解这个极限。洛必达法则用于解决 0/0 或 ±∞/±∞ 型的不定式。首先，对分子和分母分别求导数：
对于分子：
d/dx [arcsin(x)/x] = (1/x) * d/dx(arcsin(x)) + arcsin(x) * d/dx(1/x)
其中，d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2) （反正弦函数的导数）
d/dx(1/x) = -1/x^2
所以，d/dx [arcsin(x)/x] = (1/x) * (1/√(1-x^2)) - (arcsin(x)/x^2)
对于分母：
d/dx [1/(x-1)] = -1/(x-1)^2
现在可以计算极限：
lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)] = lim(x→1) [(1/x) * (1/√(1-x^2)) - (arcsin(x)/x^2)] / (-1/(x-1)^2)
将 x=1 代入得到：
lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)] = [(1/1) * (1/√(1-1)) - (arcsin(1)/1^2)] / (-1/(1-1)^2)
由于 arcsin(1) = π/2，1/√(1-1) = 1/√0，而 1/0 为无穷大，所以极限为：
lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)] = [(1) * (1/∞) - (π/2)] / 0
在这里，我们得到了另一个不确定型式 0/0，因此可以继续使用洛必达法则：
继续对分子和分母求导数：
对于分子：
d/dx [(1) * (1/∞) - (π/2)] = 0 - 0 = 0
对于分母：
d/dx [0] = 0
再次计算极限：
lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)] = lim(x→1) [0/0]
继续使用洛必达法则，对分子和分母再次求导数：
对于分子：
d/dx [0/0] = 0
对于分母：
d/dx [0] = 0
最终得到：
lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)] = lim(x→1) [0/0]
我们再次得到了不确定型式 0/0，说明洛必达法则在这里不适用。为了求解这个极限，我们可以利用泰勒级数展开来逼近。
通过泰勒级数展开可以得到：
arcsin(x) = x + O(x^3) (当 x 趋近于 0 时)
所以在 x 趋近于 1 时，arcsin(x) 也趋近于 1。将这个结果代入极限式中得到：
lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)] ≈ lim(x→1) [(1)/x - 1/(x-1)]
继续求解这个极限：
lim(x→1) [(1)/x - 1/(x-1)] = lim(x→1) [(x-1 - x)/x(x-1)] = lim(x→1) [-1/(x(x-1))]
现在可以直接代入 x=1，得到极限值为：
lim(x→1) [arcsin(x)/x - 1/(x-1)] = -1/(1(1-1)) = -1/0