Question

如何求逆矩阵？

Answer 1

要求一个矩阵的逆矩阵，需要满足以下两个条件：

1. 该矩阵必须是一个方阵（即行数等于列数）。

2. 该矩阵的行列式不为零。

如果一个矩阵满足这两个条件，那么它就有一个逆矩阵，并且可以使用以下公式来求逆矩阵：

A^-1 = 1/|A| * adj(A)

其中，|A| 表示矩阵 A 的行列式，adj(A) 表示 A 的伴随矩阵。

对于伴随矩阵的求法，可以按以下步骤进行：

1. 对于矩阵 A 中的每个元素 a[i][j]，求其代数余子式 A[i][j]。

2. 将每个代数余子式的符号按照下列规律排列成一个矩阵 B 的转置矩阵：

符号：+ - + - + - ...

行数：1 2 3 4 5 6 ...

3. 伴随矩阵 adj(A) 即为矩阵 B。

将求得的伴随矩阵除以矩阵 A 的行列式即可得到逆矩阵。

如果你不熟悉矩阵的行列式和代数余子式，可以参考一些基础的线性代数教材或者在线的教学资源来进行学习。

具体来说，行列式是一个标量值，用于描述一个矩阵的性质。它的值可以通过对矩阵的每一行或每一列进行递归的计算得到。代数余子式是行列式的一部分，它是将行列式中某一个元素去掉后剩下的部分的行列式乘上对应的符号。在计算伴随矩阵时，需要用到代数余子式。

如果你已经理解了行列式和代数余子式的概念，那么可以通过以下步骤来求逆矩阵：

1. 检查该矩阵是否是方阵。如果不是，那么它没有逆矩阵。

2. 计算矩阵的行列式，如果它等于零，那么该矩阵没有逆矩阵。

3. 计算每个元素的代数余子式，并将它们组成伴随矩阵。

4. 将伴随矩阵中的每个元素除以行列式，得到逆矩阵。

需要注意的是，矩阵的逆矩阵并不总是存在，只有满足上述两个条件的矩阵才有逆矩阵。对于没有逆矩阵的矩阵，可以考虑使用其他方法来进行求解。

Answer 2

矩阵求逆有两种求法：

(1) 用伴随矩阵求，即 A^(-1)=A*/|A|. 用于低阶矩阵求逆，特别是二阶矩阵求逆。

(2) 行初等变换法。

本题用法（1）。

P=

[1 1]

[1 -1]

|P|=-2，

P* =

[-1 -1]

[-1 1]

P^(-1)=(1/2)*

[1 1]

[1 -1]

逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。