f( x)在(-∞,+∞)上是什么函数?
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总结:是偶(奇)函数,即连续奇(偶)函数的一个原函数为偶(奇)函数。
设f(x)是连续函数,F(X)是f(x)的原函数,则:
(A)当f(x)是奇函数时,F(X)必为偶函数。
(B)当f(x)是偶函数时,F(X)必为奇函数。
(C)当f(x)是周期函数时,F(X)必为周期函数。
(D)当f(x)是单调增函数时,F(X)必为单调增函数。
若函数y=f(t),t=g(x)的奇偶性不同,则其复合函数y=f(g(x))必为偶函数;若奇偶性相同,则其复合函数y=f(g(x))的奇偶性与外层函数有相同的奇偶性。
积分学中的奇偶函数的原函数奇偶性:
(奇函数}'=偶函数 例如 (x³)’=3x²。
(偶函数)'=奇函数 例如 (x²)'=2x。
∫奇函数=偶函数 例如∫xdx=½x²+c。
∫偶函数≠奇函数 例如∫x²dx=(1/3)x³+c。
(注:若积分限0到x,则等号成立 例如∫x²dx=(1/3)x³)。
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