Question

单位圆是什么图像？

Answer 1

图像如下：

f(x)=√(1-x^2)，定义域为1-x^2≥0，即-1≤x≤1

令y=√(1-x^2)，则y≥0

且，y^2=1-x^2

x^2+y^2=1

它表示的是以原点为圆心，半径为1的圆。

数学性质

1. 在复平面（即高斯平面）上，单位圆诱导了著名的欧拉公式和棣莫佛定理。 换句话说， 单位圆上的点表示模长为1的复数， 它诱导了复数的三角形式和指数形式之间的关系。

2. 单位圆上有自然的群结构： 即弧度的加法群结构。 换句话说，就是模长为1的复数集合 上有一个自然的乘法结构。

3. 单位圆诱导了几何反演变换 ， 这和复变函数论的诸多结论密切相关。

4. 单位圆是最简单的非单连通 的拓扑空间之一， 常记为S^1. 它的基本群同构于整数群。

5. 单位圆同胚于射影直线， 是拓扑学中最基本的研究对象。这个同胚映射来自于从北极点作的球极投影。