Question

二项式展开式中x的系数。

（1-x）^4（1+x-2根号x）展开式中x的系数是多少。
不要复制来的答案。
能不能说详细的二项式定理运用。
刚刚百度到一个答案的解释是C43*(-1) ^3+C44*(-1)^4=-3
看不懂什么意思。。

Answer 1

(1-x)^4*(1-x-2√x)
由于第一个因式中有常数项,一次项,二次项,三次项,四次项
第二个因式中有常数项,一次项和1/2次项
所以两个因式相乘可得到一次项的可能只有:

常数项*一次项,一次项*常数项
二者的系数之和为x的系数

第一个因式常数项的为C(4)4*(-1)^4*x^0=C(4)4*(-1)^4
C(4)4中括号中的4表示在上方,无括号表示在下方

第一个因式一次项为:C(3)4*(-1)^3*x^1=C(3)4*(-1)^3*x
则系数为:C(3)4*(-1)^3

第二个因式中常数项为1,一次项系数为1
则系数和为:
常数项*一次项+一次项*常数项=C(4)4*(-1)^4*1 + C(3)4*(-1)^3*1 =-3

Answer 2

就是前一项中x的一次项系数乘以后一项的常数项，
再加上后一项中的一次项系数乘以前一项的常数项
前一项的一次项系数为C4（3）×1^1×（-1）^3，常数项为1
后一项的一次项系数为1，常数项为1
即x系数为：C4（3）×1^1×（-1）^3 ×1 +1×1=-4+1=-3

Answer 3

（1-x)^4展开X的次数都是整数
所以可以不用考虑2√x
这个系数可以分成两部分
(1-x)^4展开式中x一次项系数，乘以（1+x-2√x)中的1
以及（1-x)^4展开式中常数项系数，乘以（1+x-2√x)中的x
所以结果就是C(4,1)(-1)^1+C(4,0)
=-4+1=-3