Question

怎样求tan(x+ sinx)的无穷小？

Answer 1

要求 tan(x) - sin(x) 的等价无穷小，我们可以使用极限的概念。当 x 趋近于 0 时，我们可以将 tan(x) 和 sin(x) 进行泰勒展开，然后取其前几项。在泰勒展开中，我们只保留与 x 相关的最高次幂。
对于 tan(x) 和 sin(x)，它们的泰勒展开如下：
tan(x) = x + (1/3)x^3 + O(x^5)
sin(x) = x - (1/6)x^3 + O(x^5)
其中 O(x^5) 表示高于 x^3 的项，我们在等价无穷小的求解中忽略它们。
将两个展开式相减，得到：
tan(x) - sin(x) = (1/3)x^3 + (1/6)x^3 + O(x^5)
= (1/2)x^3 + O(x^5)
因此，tan(x) - sin(x) 的等价无穷小为 (1/2)x^3。这意味着当 x 趋近于 0 时，tan(x) - sin(x) 的行为可以近似为 (1/2)x^3。

Answer 2

sinx= x-(1/6)x^3+o(x^3)
tan(x+sinx)
=tan[2x-(1/6)x^3+o(x^3)]
=[2x-(1/6)x^3] +(1/3)[2x-(1/6)x^3]^3 +o(x^3)
=[2x-(1/6)x^3] +(1/3)[8x^3+o(x^3)] +o(x^3)
=2x + (5/2)x^3 +o(x^3)
tan(x+ sinx) 等价于 2x + (5/2)x^3