Question

三垂线定理的证明方法是什么？

Answer 1

用线面垂直证明 

 

 

　　已知：如图，PO在α上的射影OA垂直于a 

　　求证：OP⊥a 

　　证明：过P做PA垂直于α 

　　∵PA⊥α 

　　∴PA⊥a 

　　又a⊥OA 

　　OA∩PA=A 

　　∴a⊥平面POA 

　　∴a⊥OP 

　　用向量证明三垂线定理 

　　1.已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PA在α内的射影，b包含于α，且b垂直于OA，求证：b垂直于PA 

　　证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA） 

　　∴向量PA×b=（向量PO+向量OA）×b=（向量PO×b）+（向量OA×b ）=O，∴PA⊥b。 

　　2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。 

　　解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又∵AB=BC=CA，∴OA与平面OBC所成的角是30°。