Question

一道数学题，谢谢

定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且x属于（0，1）f(x)=2^x/(4^x+1)
求值域

Answer 1

因为是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0
x∈（0，1）时f(x)∈（2/5，1/2)
所以x∈（-1，0）时f(x)=-f(-x)∈（-1/2，-2/5）
又因为函数最小正周期是2，所以f(1)=f(-1)=-f(-1)
所以f(-1)=f(1)=0
所以函数值域是（-1/2，-2/5）∪{0}∪（2/5，1/2)

注意这道题一定要讨论f(-1),f(0),f(1)，不然就讨论不完全，因为定义域是R，必须要讨论到整个R

Answer 2

因为是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0
因为x∈（0，1）时，f(x)∈（2/5，1/2)
所以x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)∈（-1/2，-2/5）
又因为函数最小正周期是2
所以f(1)=f(-1)=-f(-1)
所以f(-1)=f(1)=0
所以函数值域是（-1/2，-2/5）∪{0}∪（2/5，1/2)