Question

一道数学极值问题

已知函数f(x)=ln(ax+1)+(1-x)/(1+x),x>=0,a>0 1.若f(x)在x=1处取得极值，求a2.求f(x)的单调区间3.若f(x)的最小值为1，求a的取值范围 第3问务必给出过程和答案啊。。谢了

Answer 1

对f(x)求导得
f'(x)=a/(ax+1)-2/(1+x)^2
f'(1)=0，解得a=1

若f'(x)>0，可得ax^2>2-a
故当a≥2时，f'(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立，故f(x)在(0,+∞)区间单调增
当0<a<2时，则x>√(2-a)/a，故f(x)在(√(2-a)/a,+∞)区间单调增，在（0，√(2-a)/a）区间单调减

由上述两问得知，
当a≥2时，f(0)最小，而f(0)=1恒成立，故a≥2
当0<a<2时，f(√(2-a)/a)最小，而f(x)在(√(2-a)/a,+∞)区间单调增，在（0，√(2-a)/a）区间单调减，故f(√(2-a)/a)<f(0)=1
综上，a≥2

Answer 2

ln(ax+1)和（1-x）/（1+x）是复合函数 不能用平常的方法直接求导的