Question

设正数数列{an}的前n项和Sn，满足Sn=1/4（an+1）^2

（1）求通项an
（2）设bn=1/（an*an-1），求数列｛bn｝的前一项的和Tn

Answer 1

Sn=(1/4)(an+1)^2
S(n-1)=(1/4)[a(n-1)+1]^2
相减
且an=Sn-S(n-1),
所以4an=(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2
[a(n-1)+1]^2=(an+1)^2-4an=(an-1)^2
a(n-1)+1=an-1或a(n-1)+1=-an+1
若a(n-1)+1=-an+1
a(n-1)+a(n)=0
和an是正整数数列矛盾

所以a(n-1)+1=an-1
an-a(n-1)=2
所以an是等差数列

d=2
a1=S1
所以a1=1/4(a1+1)^2
(a1-1)^2=0
a1=1

an=1+2(n-1)=2n-1

b1=1/1*3
b2=1/3*5
.......
bn=1/（an*an-1)

Tn=1/1*3+1/3*5+....+1/（2n-1)(2n+1)
=1/2*(1-1/3)+1/2*(1/3-1/5)+....+1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2[(1-1/3)+(1/3-1/5)+....+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=1/2*[1-1/(2n+1)]
=1/2*2n/(2n+1)
=n/(2n+1)