Question

高三数学第十题

Answer 1

令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）= -h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞-2f（x）g′（x）， 令x=-3时，h′（-3）＞-2f（-3）g′（-3）=0 h′（-3）＞ 0， 又 ∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0 函数零点在x=-3处
∴h（x）在x＜-3时单调递减，故函数h（x）在R上单调递减．
∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴0>x>-3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0=h（3） , ∴x>3 , 故解集为（3，+∞）． ∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-3，0）∪（3，+∞）．
故答案为（-3，0）∪（3，+∞）．