求1/（x+x^3）的不定积分
解析如下：
∫dx/(x+x³)
=∫dx/[x(1+x²)]
=∫[1/x - x/(1+x²)]dx
= ln|x| - ½ln(1+x²) + C
证明：
如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。
设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。
由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。
这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。
由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。
因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。
过程如下：
1/（X+X^3）=1/[x(1+x^2)]=1/x-x/(1+x^2)
对第一个分式1/x
它的积分为lnx+c1
对第二个分式x/(1+x^2)
它的积分为
∫xdx/(1+x^2)=[∫d(x^2+1)/(1+x^2)]/2
=[ln(1+x^2)]/2+c2
所以∫1/(x+x^3) dx =lnx-[ln(1+x^2)]/2+c
扩展资料：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
=∫dx/[x(1+x²)]
=∫[1/x - x/(1+x²)]dx
= ln|x| - ½ln(1+x²) + C
