Question

数列的问题！

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=a，a n+1=Sn+3的n次方 （n+1为下脚标），n∈N*。
（1）设bn=Sn-3的n次方，求数列{bn}的通项公式；
（2）若a n+1≥an，n∈N*，求a 的取值范围。

求详解！谢谢！

Answer 1

a(n+1)=Sn+3的n次方--------------(1)
an=S(n-1)+3^(n-1)---------------(2)
(1)-(2)得a(n+1)-2an=2*3^(n-1)
两边同除以2^（n+1)
得a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=3^(n-1)/2^n
令an/2^n为cn,则c1=a/2
则c(n+1)-cn=3^(n-1)/2^n
=(1/3)*(3/2)^n
c2-c1=(1/3)*(3/2)^1
c3-c2=(1/3)*(3/2)^2
c4-c3=(1/3)*(3/2)^3
...
cn-c(n-1)=(1/3)*(3/2)^(n-1)
以上式子相加得
cn-c1=(1/3)*[(3/2)^1+(3/2)^2+...+(3/2)^(n-1)]
=3^n/2^(n-1)-3
cn=3^n/2^(n-1)-3+a/2
cn=an/2^n
an=2*3^n-3*2^n+a*2^(n-1)
a(n+1)=Sn+3^n
2*3^(n+1)-3*2^(n+1)+a*2^n=Sn+3^n
2*3^(n+1)-3*2^(n+1)+a*2^n-3^n =Sn
bn=Sn-3的n次方
=2*3^(n+1)-3*2^(n+1)+a*2^n-2*3^n
=4*3^n+(a-6)*2^n

2、a（n+1）≥an
2*3^(n+1)-3*2^(n+1)+a*2^n≥2*3^n-3*2^n+a*2^(n-1)
4*3^n-4*2^n+a*2^(n-1)≥0
4*3^n-4*2^n+a*2^(n-1)的最小值要≥0
因为4*3^n、4*2^n和a*2^(n-1)都是单调递增的函数
所以当n=1时最小值
12-8+a≥0
a≥-4
a 的取值范围[-4,正无穷）