Question

数列的问题！

已知数列{an}满足2a1+2²a2+2³a3......+2^nan=4^n-1。
（1)求{an}的通项；
(2)设bn=1/a2n （2n为下脚标），求{bn}的前n项和Sn。

求详解！谢谢！

Answer 1

你这个到底是4^n-1 还是4^（n-1） 拜托说清楚，我这里就把它认为是4^n-1，4^（n-1）解法一样

解：1）当n=1时 得2a1=4^1-1=3 a1=3/2
Sn=2a1+2²a2+2³a3......+2^nan=4^n-1 一式
Sn-1=2a1+2²a2+2³a3......+2^n-1an-1=4^(n-1)-1 二式

一式减二式得 2^nan=4^n-4^n-1=2^2n-2^(2n-2)
an=2^2n-2^(2n-2)/2^n=2^n-2^(n-2)=3/2 2^（n-1）

检验：当n=1 a1=3/2*1 则通式成立
an是以a1=3/2为首项，2为公比的等比数列

2）Sn=1/a2+1/a4+...1/a2n=1/(3/2 * 2 )+1(3/2 * 2^3 )+...+1/(3/2 * 2^2n-1 )=2/3( 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 +...+1/2^2n-1 )

我们可以看出括号内的是等比数列 公比为 1/4
根据等比数列前n项和公式 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
可得括号内的和为 2/3（1-4^n）

Sn=2/3 * 2/3（1-4^n）=4/9（1-4^n）
检验：当n=1 b1=1/3 成立