Question

在三角形ABC中，设a+c=2b,A-C=60度，求sinB的值

在三角形ABC中，设a+c=2b,A-C=60度，求sinB的值

Answer 1

、根据正弦定理 a/sinA＝b/sinB＝c/sinC
得：a＝（sinA/sinB）*b c＝（sinC/sinB)*b
将其带入已知条件 a+c＝2b中
可得sinA+sinC＝2sinB
根据三角函数和公式
sinA+sinC＝2sin[(A+C)/2] * cos[(A-C)/2]
∴A+B+C=∏
∵sin[(A+C)/2]＝sin[(∏－B)/2]＝sin（∏/2－B/2)＝cos（B/2)
∴A-C＝60°
∵cos[(A-C)/2]＝cos30°＝（√3）/2
∵sinA+sinC＝√3*cos（B/2)＝2sinB
根据倍角公式 sinB＝2sin（B/2)cos（B/2)
√3*cos（B/2)＝4sin（B/2)cos（B/2)
sin（B/2)＝（√3）/4
cos（B/2)＝√（1-(（√3）/4)^2)
=（√13）/4
sinB＝2sin（B/2)cos（B/2)=（√39）/8

Answer 2

a+c=2b用正弦定理 ==>
sinA+sinC=2sinB
=2sin((A+C)/2)cos(A-C)
=2cos60°sin((π-B)/2)
=cos(B/2)=2*sin(B)=2*2*sin(B/2)cos(B/2)
∴sin(B/2)=1/4 ==> cos(B/2)=√15/4;
∴sin(B)=2*sin(B/2)cos(B/2)=)=√15/8