Question

已知不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β,其中0<α<β,求解(a+c-b0x^2+(b-2a)x+a 的解集

已知不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β,其中0<α<β,求解(a+c-b0x^2+(b-2a)x+a 的解集
要有过程
求解(a+c-b）x^2+(b-2a)x+a >0的解集

Answer 1

∵不等式ax²+bx+c>0的解集为{x|α<x<β，0<α<β}
∴a<0且α，β是方程ax²+bx+c=0的两个根，
-b/a=α+β>0，c/a=αβ>0，且b>0，c<0，
∴不等式(a+c-b)x²+(b-2a)x+a>0可化为
[1+(c/a)+(-b/a)]x²-((-b/a)+2)x+1<0
[1+αβ+(α+β)]x²-((α+β)+2)x+1<0
(α+1)(β+1) x²-[(α+1)+(β+1)]x+1<0
[(α+1)x-1][(β+1) x -1] <0
∵0<α<β，
∴0<α+1<β+1，0<1/(β+1)<1/(α+1)，
原不等式可化为[x-1/(α+1)][x-1/(β+1)]<0，
得，1/(β+1)<x<1/(α+1)，
∴不等式(a+c-b)x²+(b-2a)x+a>0的解集为{x| 1/(β+1)<x<1/(α+1)}.

Answer 2

解：因为不等式ax^2+bx+c>0的解集为α<X<β,0<α<β,
所以a<0，α+β=-b/a>0,α*β=c/a>0,德尔塔=b^2-4ac>0恒成立
所以b>0,c<0
所以a+c-b<0,b=-a(α+β),c=a*α*β
不等式(a+c-b）x^2+(b-2a)x+a >0，
德尔塔=（b-2a）^2-4a(a+c-b)=b^2-4ac>0成立
x1+x2=(2a-b)/(a+c-b)=(2+α+β)/(1+α+β+α*β)=1/(α+1)+1/(β+1)
x1*x2=a/(a+c-b)=1/(1+α+β+α*β)=[1/(α+1)]*[1/(β+1)]
因为0<α<β,所以1/(α+1)>1/(β+1)
所以不等式的解集为1/(β+1)<x<1/(α+1).