Question

如图已知梯形ABCD中,AD//BC//EF,AE:EB=1:4，DC=10,AD=4,BC=14 求证（1）DF、FC的长;(2)求EF的长

如图已知梯形ABCD中,AD//BC//EF,AE:EB=1:4，DC=10,AD=4,BC=14
求证（1）DF、FC的长;(2)求EF的长

Answer 1

解：（1）因为 AD//BC//EF

         所以 AE:EB=DF:FC=1:4

         得： FC=4DF

         又因为 DF+FC=DC=10

         所以得 5DF=10  则DF=2, FC=8

     (2）过D点做DN//AB，与EF相交于M

         因为 AD//EM//BN,且AB//DN

         所以EM=AD=BN=4

         因为MF//NC

         所以FM:NC=DF:DC=1:5, 则MF=(1/5)NC

         NC=BC-BN=14-4=10,则MF=2

         最终EF=EM+MF=6

Answer 2

解：延长BA、CD交于G
（1）∵AD‖EF‖BC
∴GA:AE:EB＝GD:DF:FC
∴DF:FC＝AE:EB＝1:4
设DF＝k，FC＝4k，则
∵DF＋FC＝DC
∴5k＝10，解得：k＝2
∴DF＝2，FC＝8
（2）∵AD‖BC
∴GD:GC＝AD:BC
设GD＝x，则GC＝GD＋DC＝x＋10
x/(x＋10)＝2/7，解得：x＝4
∴GD＝4，GF＝GD＋DF＝6
∵AD‖EF
∴AD:EF＝GD:GF
∴EF＝6

Answer 3

连接BD交EF于N

因为AE:EB=1:4
所以DF：FC=1:4
所以DF=2 FC=8

因为AD//BC//EF
所以FN/CB=DF/DC=1/5
NE/DA=BE/BA=4/5
所以FN=14/5
NE=16/5
所以EF=6

Answer 4

解：由平行线截得线段成比例定理得DF/FC=AE/EB=1/4,又DF+FC=10
所以：解方程组DF/FC=1/4, DF+FC=10得DF=2,FC=8.

延长BA,CD交于M点，则：MD/(MD+DC)=AD/BC,即MD/(MD+10)=4/14,解得MD=4
所以：(MD+DF)/(MD+DC)=EF/BC,即（4+2)/(4+10)=EF/14,解得EF=6

Answer 5

过A作DC的平行线相交EF于G，相交BC于H
因为AD//BC//EF，AH//DC，所以AE:EB=AG:GH=DF:FC=1:4，AD=GF=HC=4
所以DF=1/5*DC=2，FC=DC-DF=8，AE:AB=EG:BH=1:5
而BH=BC-HC=14-4=10，所以EG=1/5*BH=2，
EF=EG+GF=2+4=6