1+2x²/x²(1+x²)的不定积分 30
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∫ [2x/(x^2+x+1) ]dx
= ∫ [(2x+1)/(x^2+x+1) ]dx -∫ dx/(x^2+x+1)
=ln|x^2+x+1| -∫ dx/(x^2+x+1)
consider
x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4
let
x+1/2 = (√3/2)tany
dx = (√3/2)(secy)^2 dy
∫dx/(x^2+x+1)
=(2√3/3)∫ dy
=(2√3/3)y + C'
=(2√3/3)arctan[(2x+1)/√3] + C'
∫ [2x/(x^2+x+1) ]dx
=ln|x^2+x+1| -∫ dx/(x^2+x+1)
=ln|x^2+x+1| -(2√3/3)arctan[(2x+1)/√3] + C
= ∫ [(2x+1)/(x^2+x+1) ]dx -∫ dx/(x^2+x+1)
=ln|x^2+x+1| -∫ dx/(x^2+x+1)
consider
x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4
let
x+1/2 = (√3/2)tany
dx = (√3/2)(secy)^2 dy
∫dx/(x^2+x+1)
=(2√3/3)∫ dy
=(2√3/3)y + C'
=(2√3/3)arctan[(2x+1)/√3] + C'
∫ [2x/(x^2+x+1) ]dx
=ln|x^2+x+1| -∫ dx/(x^2+x+1)
=ln|x^2+x+1| -(2√3/3)arctan[(2x+1)/√3] + C
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