Question

已知点A（a,o）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆E:X^2+Y^2-4X-4Y+3=0相交于C,D两点，且|CD|=2。

求（a-4)(b-4)的值。求线段AB的中点M的轨迹方程。求△ABE的面积最小值

Answer 1

(1)直线AB:x/a+y/b=1即:bx+ay-ab=0
圆E:(x-2)^2+(y-2)^2=5.圆心E(2,2)半径r=√5
圆心E到直线AB距离为:d=√[r^2-(CD/2)^2]=2
|2×b+2×a-ab|/√(a^2+b^2)=2
∴|2b+2a-ab|=2√(a^2+b^2)
(2b+2a-ab)^2=4(a^2+b^2)
ab[(ab-4(a+b)+8]=0

∵ab≠0
ab-4(a+b)+8=0即ab-4a-4b+16=8
(a-4)(b-4)=8

(2)设线段AB的中点M(x,y)又A(a,0),B(0,b)
x=a/2,y=b/2
∴a=2x,b=2y代入(a-4)(b-4)=8得:(2x-4)(2y-4)=8
(x-2)(y-2)=2[注:x>2,y>2]

(3)前面已得圆心E到直线AB距离为:d=2
|AB|=√(a^2+b^2)

S=(1/2)×2√(a^2+b^2)=√(a^2+b^2)
令a-4=m,b-4=n∴mn=8,a=m+4,b=n+4
a^2+b^2=(m+4)(n+4)=mn+4m+4n+16=4(m+n)+24≥8(√mn)+24=24+16√2
∴S≥√(24+16√2)=2√(6+4√2)=2√(4+4√2+2)=2√(2+√2)^2=4+2√2
S的最小值为:4+2√2