Question

关于集合的题

M=｛X丨X=m+√2n,m、n∈Z｝X1、X2∈M
(1)试判断下列元素中哪些一定属于M
x1+x2 x1x2 x1/x2
(2)对于给定的整数n,试求满足0<m+√2n<1的M中的元素个数

Answer 1

(1) 设X1=m1+√2n1、X2=m2+√2n2
X1+X2=m1+√2n1+m2+√2n2= (m1+m2)+√2(n1+n2)
X1X2=(m1+√2n1)(m2+√2n2)= (m1m2+2n1n2)+√2(m1n2+ m1n2)
x1+x2∈M,x1x2∈M
X1=1+√2, X2=2+√2,
x1/x2=(1+√2)/( 2+√2)=√2/2，故x1/x2不一定属于M。
(2) 0<m+√2n<1, -√2n<m<1-√2n,由于(1-√2n)-(-√2n)=1,故满足条件-√2n<m<1-√2n的m仅1个，故M中的元素个数为1。