Question

关于整数1和循环小数0.999999999……是大于、等于、小于关系

请知道的朋友回答：
1>0.999999999……
1=0.999999999……
1<0.999999999……
哪一个正确???
为什么，请做出详细证明（最少三种以上）

Answer 1

这是一道非常著名的问题。我想肯定有人会说不相等。但请相信我和那些说它们相等的同志，他们的的确确是相等的。
证明的方法有很多：

第一种，最简单的：
设x=0.9999999999999……，那么10x=9.99999999999……，得到
10x-x=9
得x=1

第二种，也很简单的：
设x=0.999999999999……，那么x/3=0.333333333333……=1/3，得
x/3=1/3
x=1

第三种，稍微要绕一点脑筋：
你用竖式计算1除以1（竖式应该会吧，小学学过的），不同的是一开始不要直接商1，而要商0，那么余数是1，添加一个0变成10，然后商9，10-9=1，又得到余数是1，再按照上面的方法进行计算，就会算出来1/1=0.9999999……

第四种，可以用极限来做：
等比数列的求和公式是[a1(1-q^n)]/(1-q)，那么当q<1且n->无穷大的时候，这个式子的极限就是a1/(1-q)。由于循环小数0.aaaaaaaaa……=a/10+a/100+a/1000+a/10000+……，它的每一个加数刚好构成一个无穷的等比数列，而且q=1/10，那么就可以用a1/(1-q)计算0.99999999……，此时a1=0.9，q=1/10，很容易就可以得到0.9999999999……=0.9/(1-1/10)=1

以上就是常见的证明0.99999999999……=1的方法。方法还有很多种。最后结果都是：0.999999999……=1。

另外，我还可以明确地告诉你，以上的推理过程都是比较严密的，不要相信所谓的0.3333333333……只是约等于1/3，0.9999999999……<1。至少在我们所使用的数学中，0.999999999……=1。

你也可以在百度上查找有关的资料，特别是百度知道上有过这种争论。

最后，我在明确地告诉你，同时也是告诉所有看过这些话的人，0.999999999999999……=1。

Answer 2

当然是小于了,不管在小数后面多少位,永远都小0.1-0.0000000000000000000000000000000------1

Answer 3

人类在思维的时候是用逻辑的。逻辑矛盾不等于现实矛盾。在逻辑上只要0.999......存在就不允许0.000......（小数点后无穷个0）00001的存在。在逻辑上0.999......与0.000......00001是矛盾的。在逻辑上0.99999......=1是成立的。但在现实生活中“0.9999......=1”根本不存在。现实生活中"1"也是个逻辑概念。一己之见，莫执着，呵呵

Answer 4

1=0.999999999……

用循环小数化成分数的方法：9/9=1