Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）问：（1）若方程f(x)+6a=0已知二次函

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）问：（1）若方程f(x)+6a=0有两个等跟，求解析式（2）若f(x）最大值为正数，求a的取值范围
网上好多，不过我一直都不明白。为什么a<o???
为什么a<o???
为什么a<o???
能详细解释一下么？？？？
我特别笨的！谢谢!

Answer 1

解
1.设f(x)=ax²+bx+c, 因f(x)>－2x的解集为（1,3）,即f(x)+2x>0的解集为（1,3）,
∴ f(x) +2x= ax²+bx+c+2x=ax²+(b+2)x +c=0 的解为1与3,
∴1+3=－(b+2)/a, 3 × 1 =c/a, (韦达定理）
∴b= －4a －2, c=3a,
∴f(x)= ax²－(4a+2)x+3a,
若f(x)+6a=0有两个等根,
即ax²－(4a+2)x+3a+6a=ax²－(4a+2)x +9a=0有两个等根,
则由 △=(4a+2)² －36a²=0，(4a+2－6a)(4a+2+6a)=0，
得 a=1 与a= －1/5，
不等式f(x) > －2x的解集为（1,3），也就是ax²+(b+2)x+c>0的解集为（1,3），
∴ax²+(b+2)x+c 的抛物线图像开口朝下,(若朝上, 解集为两个分散的区间)
∴ a<0,
∴ 舍去a=1,
∴ a=－1/5, b=－6/5, c=－3/5 ,
∴ 二次函数f(x)的解析式是:
f(x)= －(1/5) x² －(6/5) x －3/5 ;
2.由上已知f(x)= －(1/5) x² －(6/5) x －3/5, 依题意,只能再设
f(x)= a x² －(6/5) x －3/5, 求其顶点式为
f(x)= a[ x² －(6/5a) x ]－3/5 = a(x－3/5a)² － 9/25a －3/5,
令－9/25a－3/5>0, 且a<0(抛物线图像开口朝下),
则－9－15a<0, －3 －5a<0, －5a<3,
∴ 若f(x）最大值为正数, 则 0 > a > －3/5 .
3.解释“为什么a<o???”.
首先你要明白, y=ax² +bx +c只有在顶点处才有最值, 而且顶点只有一个.如果顶点处为为最大值,则图像朝Y轴负方向无穷扩散开去,故图像开口朝下,顶点位于图像最高处;相反, 如果顶点处为最小值, 则图像朝Y轴正方向无穷扩散开去,故图像开口朝上,顶点位于图像最低处.
将y写成顶点式:
y=ax² +bx +c=a(x²+ b/a x)+c= a(x +b/2a ) ² － b²/4a + c .
只有当a<0时, 才能使a(x +b/2a ) ² 向负方向无穷扩散开去, 从而使y图像朝Y轴负方向无穷扩散开去,使图像开口朝下,顶点,也就最大值,位于图像最高处 (－b/2a ， － b²/4a + c).
这就回答了“为什么a<o???”.

Answer 2

1、假设f(x)=a*x^2 + b*x +c，则由不等式f(x)>-2x的解集为（1,3），则得方程a*x^2 + b*x +c +2x = 0的两根分别是1和3，所以-（b+2）/a=4，c/a=3；
b=-4a-2；c=3a；
又因为二次不等式求大于0部分的解集是一个连续有限区间，所以二次曲线开口向下，二次系数a<0；

2、由第一步得出的结果，可知f(x)+6a=0方程可以表示成
a*x^2 + (-4a-2)*x +3a+6a = 0
次方程式有2等跟，则（-4a-2）^2 -4a*9a=0
得到a=1或者a=-1/5,又a<0,所以结果a=-1/5，带入f(x)就可得到解释式；

3、f(x)=a*x^2 + (-4a-2)*x +3a的最大值在x=-b/2a处取得，
此时x=（4a+2）/2a；a<0；
带入可知f(-b/2a)=c - b^2/4a = 3a-(4a+2)^2/4a=-a-4-1/a
解(-a-4-1/a)>0,可得
a^2+4a+1>0;
结果应该是（-无穷，-2-根号3）或者（-2+根号3,0）

Answer 3

设f(x)=ax²+bx+c
对于不等式f(x)>-2x，带入可得
ax²+(b+2)x+c>0
对于上述不等式，
若方程ax²+(b+2)x+c=0无解，则x的解集为一切实数

若方程ax²+(b+2)x+c=0有解，则分以下情况

若a>0，则可知它的解集一定是这样的形式 (-∞,s)∪(t,+∞)，其中t、s为方程ax²+(b+2)x+c=0的两个根

若a<0，则可知它的解集一定是这样的形式 (s,t)其中t、s为方程ax²+(b+2)x+c=0的两个根

根据其解集的情况为(1,3)，所以判断出a<0

Answer 4

不等式f(x)>-2x的解集为（1,3），所以a＜0。
假设a＞0，那么抛物线开口向上，当函数值大于0时的解集一定是（负无穷，x1）∪（x2,正无穷），怎么可能是（1,3）呢？

Answer 5

f(x)+2X>0解集为1到3，可知开口向下，所以a<0