Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c 1)若a>b>c,且f(1)=0,证明:f(x)的图象与x轴有2个相异交点:

(2)证明:若对x1,x2,有x1<x2 且f(x1)≠f(x2),则方程f(x)=[ f(x1)+f(x2) ] /2 必有一实根在区间(x1,x2)内.
（3）在（1）的基础上，设f(x)=0的另一实根为X0,若方程f(x)+a=0有解。证明x0>-2

Answer 1

解：
(1)由于f(1)=0，可得a+b+c=0，得到b=-(a+c)

对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c，a≠c)
所以与x轴有两个相异交点

(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c，很容易得知其对称轴为x=-b/2a，下面分步讨论
当a>0时：

若x2>x1≥=-b/2a，此时f(x)为增函数，由x2>x1，可得f(x2)>f(x1)
由f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2可得
f(x)=[f(x1)+f(x2) ]/2>[f(x1)+f(x1)]/2=f(x1)
f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2<[f(x2)+f(x2)]/2=f(x2)
所以f(x1)<f(x)<f(x2)
由f(x)此时的增函数性质可知，x1<x<x2，所以x位于(x1,x2)内

若-b/2a≥x2>x1，此时函数为单调减函数，与上面过程同理也能得到x1<x<x2

若x1<-b/2a<x1时，很显然f(x1)>f(-b/2a),f(x2)>f(-b/2a),
取f(x1)<f(x2),则有f(x1)<f(x)<f(x2)，那么可以得到f(-b/2a)<f(x)<f(x2)
很显然在区间[-b/2a,x2]中，f(x)是增函数，所以得到-b/2a<x<x2,也就是x1<x<x2，
取f(x1)>f(x2)，则有则有f(x1)>f(x)>f(x2)，那么可以得到f(x1)>f(x)>f(-b/2a)很显然在区间[x1,-b/2a]中，f(x)是减函数，所以得到x1<x<-b/2a,也就是x1<x<x2

当a<0时，与a>0同理，均可得到x1<x<x2
所以结论得证

(3)
f(x)+a=0，ax²+bx+c+a=0
△=b²-4a(a+c)=b²+4ab=b(b+4a)≥0（因为a+b+c=0,所以a+c=-b）
再由a>b>c可得，a>0，c<0,b的正负性未知
欲使得b(b+4a)≥0
必须b≥0，b+4a≥0，显然当b≥0时，b+4a≥0必然成立
或者b≤0，b+4a≤0，我们知道c<0，若b+4a≤0，所以4a+b+c<0，而a>0，所以4a+b+c=3a+(a+b+c)=3a<0，遇上面得出的a>0的结论矛盾，所以此组解不成立
所以只能是b≥0

f(x)=ax^2+bx+c的对称轴为-b/2a，而f(1)=0，f(x0)=0

所以1+b/2a=(-b/2a)-x0，整理后，得到
x0=-1-b/a
我们知道a>b≥0,所以b/a<1，所以-b/a>-1
所以x0=-1-b/a>-1-1=-2，得证

Answer 2

第一问：
1) 由f(1)=0可知a+b+c=0，即b=-(a+c)
2) f(x)=0的△=b^2-4ac=[-(a+c)]^2-4ac=(a-c)^2，因为a>c，所以△=(a-c)^2>0，故f(x)的图象与x轴有2个相异交点

第二问：
3) 记g(x)=f(x)-[f(x1)+f(x2)]/2，则g(x1)=[f(x1)-f(x2)]/2，g(x2)=[f(x2)-f(x1)]/2
4) 因为f(x1)不等于f(x2)，所以g(x1)、g(x2)是一正一负的两个相反数
5) 根据二次函数的连续性，可知(x1, x2)内必然存在某个x'，满足g(x')=0，即方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2必有一实根在区间(x1, x2)内

第三问：
6) 根据韦达定理，可知1*x0=c/a，于是x0=c/a
7) 注意a>b>c，显然a不等于0，如果a是负数，那么c也是负数，根据1)可知b是正数，这和a>b矛盾，因此a>0
8) 由a>b可知a>-(a+c)，即-2a<c，两边除以正数a得x0=c/a>-2

第三问的证明没有使用f(x)+a=0有解这个条件。事实上，根据f(x)+a=0有解这个条件，还可知道x0>=3或者x0<=-1

Answer 3

(1)由于f(1)=0，可得a+b+c=0，得到b=-(a+c)

对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c，a≠c)
所以与x轴有两个相异交点

(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c，很容易得知其对称轴为x=-b/2a，下面分步讨论
当a>0时：

若x2>x1≥=-b/2a，此时f(x)为增函数，由x2>x1，可得f(x2)>f(x1)
由f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2可得
f(x)=[f(x1)+f(x2) ]/2>[f(x1)+f(x1)]/2=f(x1)
f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2<[f(x2)+f(x2)]/2=f(x2)
所以f(x1)<f(x)<f(x2)
由f(x)此时的增函数性质可知，x1<x<x2，所以x位于(x1,x2)内

若-b/2a≥x2>x1，此时函数为单调减函数，与上面过程同理也能得到x1<x<x2

若x1<-b/2a<x1时，很显然f(x1)>f(-b/2a),f(x2)>f(-b/2a),
取f(x1)<f(x2),则有f(x1)<f(x)<f(x2)，那么可以得到f(-b/2a)<f(x)<f(x2)
很显然在区间[-b/2a,x2]中，f(x)是增函数，所以得到-b/2a<x<x2,也就是x1<x<x2，
取f(x1)>f(x2)，则有则有f(x1)>f(x)>f(x2)，那么可以得到f(g2a)很显然在区间[x1,-b/2a]中，f(x)是减函数，所以得到x1<x<-b/2a,也就是x1<x<x2

g所以结论得证 hggggggggggg

Answer 4

(1)由于f(1)=0，可得a+b+c=0，得到b=-(a+c)

对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，且判别式
△=b²-4ac=(a+c)²-4ac=(a-c)²>0(a>b>c，a≠c)
所以与x轴有两个相异交点

(2) 对于f(x)=ax^2+bx+c，很容易得知其对称轴为x=-b/2a，下面分步讨论
当a>0时：

若x2>x1≥=-b/2a，此时f(x)为增函数，由x2>x1，可得f(x2)>f(x1)
由f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2可得
f(x)=[f(x1)+f(x2) ]/2>[f(x1)+f(x1)]/2=f(x1)
f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2<[f(x2)+f(x2)]/2=f(x2)
所以f(x1)<f(x)<f(x2)
由f(x)此时的增函数性质可知，x1<x<x2，所以x位于(x1,x2)内

若-b/2a≥x2>x1，此时函数为单调减函数，与上面过程同理也能得到x1<x<x2

若x1<-b/2a<x1时，很显然f(x1)>f(-b/2a),f(x2)>f(-b/2a),
取f(x1)<f(x2),则有f(x1)<f(x)<f(x2)，那么可以得到f(-b/2a)<f(x)<f(x2)
很显然在区间[-b/2a,x2]中，f(x)是增函数，所以得到-b/2a<x<x2,也就是x1<x<x2，
取f(x1)>f(x2)，则有则有f(x1)>f(x)>f(x2)，那么可以得到f(x1)>f(x)>f(-b/2a)很显然在区间[x1,-b/2a]中，f(x)是减函数，所以得到x1<x<-b/2a,也就是x1<x<x2

当a<0时，与a>0同理，均可得到x1<x<x2
所以结论得证