Question

定积分号和极限号可以交换顺序吗？ 对复合函数求极限，若外函数连接，则可以交换函数符号与极限号，那...

定积分号和极限号可以交换顺序吗？ 对复合函数求极限，若外函数连接，则可以交换函数符号与极限号，那定积分也可以看成外函数，它是连续的，所以可以交换，对吗？

Answer 1

对一个函数求定积分，其结果是一个数，如果再对这个数求极限，而常数的极限就是这个常数本身。复合函数求极限，可以交换运算顺序，是可以证明的。你可以在课本中去找证明过程。

Answer 2

不知你说的是哪种
1）lim(n→∞)∫fn(x)dx 和∫lim(n→∞) fn(x)dx
函数列{fn(x)}每一项都连续，且一致收敛于f(x)，那么可交换顺序
2）lim(y→y0)∫f(x,y)dx 和∫lim(y→y0) f(x,y)dx
f(x,y)是连续函数，可以交换顺序

Answer 3

充分条件要求被积函数具备一致收敛性
fn(x) ， f(x) 都可积且满足：
对任意ε>0,存在 N，当n>N 时，对任意 x∈[a,b], |fn(x)-f(x)|<ε
称 fn(x)一致收敛于f(x)
则lim（n->∞)∫[a,b] fn(x)dx=∫[a,b] limfn(x)dx