Question

高中数学难题

已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=10(x-1),数列an满足a1=2,[a(n+1)-an]g(an)+f(an)=0,bn=0.9(n+2)(an -1)
(1),求证数列an -1为等比数列
（2），当n取何值，bn取最大值，并求出最大值。

Answer 1

由[a(n+1)-an]g(an)+f(an)=0得
(an-1){10a(n+1)-9an-1}=0,由于此式对于任意n都成立，
且n=1时，an-1不等于0，故得10a(n+1)-9an-1=0
化简得10{a(n+1)-1}=9（an-1)
故数列{an-1}为等比数列

由（1）易知an-1=0.9^n-1
代入得bn=0.9^n(n+2)
b(n+1)/bn={9(n+3)}/{10(n+2)}≥1得n≤7
即a1≤a2≤…≤a8≥a9≥…≥an
故n=8时，bn最大，最大值为0.9^8×10