Question

一道高中数学的题

关于x的方程（x^2-1)^2-｜x^2-1｜+k=0,给出下列四个命题：
（1）存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根；
（2）存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；
（3）存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；
（4）存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根。
其中假命题的个数是（ ）
A 0 B 1 C2 D 3
答案是A。我要解题过程。不要答案。 满意的话我会加悬赏的。

Answer 1

设|x^2-1|=t,
则(x^2-1)^2=|x^2-1|^2=t^2
t^2-t+k=0,
t1*t2=k,t1+t2=1/2
此方程有两个小于1/2的正根t1,t2,
则|x^2-1|=t1或t2,x^2=1±t1,x^2=1±t2,
这样共有8个根
如果一根为0,则k=0,t^2-t=0,
t=1或0,
t=1,x^2=1±1=0或2,
t=0,x^2=1,共有3+2=5个根
t1,t2一正一负，因为|x^2-1|≥0,不可能是负数，
所以|x^2-1|=t1,x^2=1±t1,共有4个根，
如果t1＞1,则x^2=1+t1,此时有2个根
所以都是真命题

Answer 2

应该是b

Answer 3

（2）存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；是对的吧
选b

Answer 4

既然都是恰有，所以至多只有一个是真命题，所以至少有3个假命题，只有选D