Question

设X~U(0,1),Y~U(0,1),且X与Y相互独立,z的二次方程Xz^2＋z＋Y=0有实根的概

设X~U(0,1),Y~U(0,1),且X与Y相互独立,z的二次方程Xz^2＋z＋Y=0有实根的概设X~U(0,1),Y~U(0,1),且X与Y相互独立,求关于z的二次方程Xz^2＋z＋Y=0有实根的概率

Answer 1

解：要方程Xz^2＋z＋Y=0有实根，则其判别式△=1-4XY≥0，∴XY≤1/4。x=1时，y=1/4,
又，X~U(0,1)，∴f(x)=1、Y~U(0,1)，∴f(y)=1，而X、Y相互独立，∴X、Y的联合分布密度函数f(x,y)=1，D={(x,y)丨0<x<1，0<y<1}；f(x,y)=0，(x,y)属于非D范围。
∴P(XY≤1/4)=1-P(XY≥1/4)=1-∫(1/4,1)dx∫(1/(4x),1)f(x,y)dy=1-∫(1/4,1)[1-1/(4x)]dx=3/4-(1/2)ln2。
供参考。