Question

一道高中数学题目 求证不等式

x大于0，y大于0，x不等于y，求证1/x+1/y大于4/(x+y)

Answer 1

方法1:柯西不等式(1/x+1/y)*(x+y)>2^2
即右式

方法2:左式>2/[√(xy)]
√(xy)<(x+y)/2
所以2/[√(xy)]>2/[(x+y)/2]
即右式

方法3:调和平均数≤算术平均数
2/(1/x+1/y)<(x+y)/2
即右式

Answer 2

均值不等式
1/x+1/y》2/根号xy>4/(x+y)

Answer 3

调和平均数大于等于算数平均数，x不等于y，等号取不到

Answer 4

1/x+1/y
=(x+y)/(xy)

因为 xy<=(x^2+y^2)/2<=(x+y)^2/4
所以 (x+y)/(xy)>4(x+y)/(x+y)^2=4/(x+y)

得证

Answer 5

∵x>0，y>0,
∴(x+y)(1/x+1/y)=2+(y/x)+(x/y) ≥2+2√[(y/x)(x/y)]=4（当且仅当x=y时取等号）
又x≠y，
∴(x+y)(1/x+1/y)>4
∵x>0，y>0, ∴x+y>0
∴1/x+1/y>4(x+y)