Question

高中数学竞赛题 要过程

设[x]为不超过x的整数,则[10^20000/(10^100+3)]的个位数字为
要过程

Answer 1

10^20000
=10^19900*10^100
+(3*10^19900-3*10^19900)
+(-9*10^19800+9*10^19800)
+(27*10^19700-27*10^19700)
+(81*10^19600-81*10^19600)
...
+(3^n*10^(20000-100*n)-3^n*10^(20000-100*n))
...
+(3^199*10^100-3^199*10^100)
+(-3^200+3^200)

=10^19900*10^100+10^19000*3
-3*10^19800*10^100-3*10^19800*3
+9*10^19700*10^100+9*10^19700*3
-27*10^19600*10^100-27*10^19600*3
....
+(-3)^n*10^(19900-100*n)*10^100+(-3)^n*10^(19900-100*n)*3
....
-3^199*10^100-3^199*3
+3^200

=10^19900*(10^100+3)
-3*10^19800*(10^100+3)
+9*10^19700*(10^100+3)
-27*10^19600*(10^100+3)
+……
+(-3)^n*10^(19900-100*n)*(10^100+3)
+……
-3^199*(10^100+3)
+3^200.

∵[10^19900*(10^100+3)
-3*10^19800*(10^100+3)
+9*10^19700*(10^100+3)
-27*10^19600*(10^100+3)
+……
+(-3)^n*10^(19900-100*n)*(10^100+3)
+……
+3^198*10^100*(10^100+3)]/(10^100+3)
末尾数最后100位都是0
∵3^200=9^100<10^100+3，未尾数是0
∴10^20000/(10^100+3)的末尾数A，只取决于3^199的末尾数B，即-3^199的末尾数-B，因为B≠0，所以A=10-B。

因为3^(4k)的末尾数总是1，
所以3^(4k+m)的末尾数3^m的末尾数相同，
而3^199=3^(196+3)，所以其末尾数为B=7，
于是有A=10-7=3。

Answer 2

设T=10^100+3, Ci=C(200, i)=200!/i!/(200-i)!
10^20000/(10^100+3)=(T -3)^200/T, 注意3^200=9^100<T
原式[...]＝[(T -3)^200 -3^200]/T
=C0*T^199+C1*(-3)T^198+C2*3^2*T^197+....+C198*(-3)^198*T+C199*(-3)^199
除以10余数同=C0*3^199+C1*(-3)3^198+C2*3^2*3^197+
....+C198*(-3)^198*3+C199*(-3)^199
=3^199(C0-C1+C2-C3…..+C198-C199)=-3^199=-7=3