Question

f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=2^x/(4^x+1)，则

f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=2^x/(4^x+1)。求
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式
（2）证明f（x）在（0，1）上是减函数

Answer 1

解：
（1）：因为f(x)是定义在R上的奇函数
所以当x∈(-1,0)时：
-f(-x)=-[(2^x)/(4^x+1)]
因为-x∈(0,1)
所以当x∈(0,1)时
f(x)=-[(2^x)/(4^x+1)]

所以f（x）在（-1，1）上的解析式一共分三段:
当x∈（0，1）时：f(x)=2^x/(4^x+1)
当x=0时，f(x)=0
当x∈（-1，0）时:f(x)=-[(2^x)/(4^x+1)]

(2),设X1，X2属于（－1，0），且X1＞X2
所以f（X1）－f（X2）＝)=-[(2^X1)/(4^X1+1)] +2^X2/(4^X2+1)
上式化简后式子比较复杂，在这里就不写了，你自己算算，不懂问我。
可以算出：
f（X1）－f（X2）＞0
所以f(x)在(-1,0)上是增函数
因为f(x)是定义在R上的奇函数
所以f（x）在（0，1）上是减函数

Answer 2

（1）设x∈(-1,0)，则-x∈(0,1)f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)=2^x/(4^x+1)，
因为f(x)为定义在r上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-2^x/(4^x+1)
所以f(x)是一个分段函数，当x∈(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)，当x∈(-1,0)，f(x)=-2^x/(4^x+1)
（2）设x1,x2∈(0,1)，且x1
0，即2^(x1+x2)>1,2^(x2)>2^(x2),(4^(x1)+1)(4^(x2)+1)>0
所以f(x1)-f(x2)>0,因此f(x)在（0，1）上是减函数