Question

高二解析几何

设F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的两个焦点,P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为？

Answer 1

解：
根据直径所对的圆周角是直角
∠F1PF2=90°,
又∠PF1F2=5∠PF2F1,所以∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°
F1F2=2c
PF1=F1F2*sin15度
PF2=F1F2*sin75度
sin15=sin（45-30）
sin15=（根号6-根号2）/4
sin75=（根号6+根号2）/4
所以 2a=PF1+PF2=F1F2*根号6/2
2a=2c*根号6/2
离心率e=c/a=2/根号6=根号6/3

Answer 2

解：
因为P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点
则三角形PF1F2是RT三角形
又∠PF1F2=5∠PF2F1
所以6∠PF2F1=90°
∠PF2F1=15°,∠PF1F2=75°
则|PF1|=[（√6-√2）/2 ]c
|PF2|=[（√6+√2)/2] c
那么|PF1|+|PF2|=2a =√6 c
所以e=√6 /3