Question

a/x*x-yz=b/y*y-zx=c/z*z-xy求证ax+by+cz=(x+y+z)*(a+b+c)

Answer 1

x^2表示x²
这样输入的时候方便点
证明如下：
设a/x^2-yz=b/y^2-zx=c/z^2-xy=k

则a=k（x^2-yz）
b=k（y^2-zx）
c=k（z^2-xy）

带入待证式子：
k（x^2-yz）x+k（y^2-zx）y+k（z^2-xy）z
=k（x^3+y^3+z^3-3xyz)

右=k（x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz）*（x+y+z）
即证+x^3+y^3+z^3-3xyz=（x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz）*（x+y+z）

事实上：
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
此法乃分析法