Question

求解函数题目一道 谢谢高手们了 要快啊

设f(x)=3ax^2+2bx+c，若a+b+c=0，f(0)f(1)>0，求证：(1)方程f(x)=0有实根 （2）-2 <a/b<-1 (3)设x1,x2是方程f(x)的两个实根，则根号3/3<=|x1-x2|<2/3

Answer 1

1)
a+b+c=0,所以b=-a-c,所以f(0)*f(1)=c(2b+3a+c)=c(-2a-2c+3a+c)=c(a-c)>0,所以cc<ac,-ac>-cc,
f(X)=o的判别式=4bb-12ac=4[(a+c)(a+c)-3ac]>4[(a+c)(a+c)+3cc]>=0(当且仅当a+c=0,c+0,同时成立，才取等号，此时，a=c=b=0,不符合题意，所以不能取等号，）
所以判别式>0,所以方程f(X)=0有实根
2)
f(0)=c>0,f(1)=3a+2b+c>0
a+(2a+2b+2c)-c>0
a-c>0,a>c>0
b<0
b=-a-c>-2a,b/a>-2
b=-a-c<-a+0=-a,b/a<-1
-2<b/a<-1
a>0且-2<b/a<-1
3)
根据未达定理有
x1+x2=-2b/3a
x1x2=c/3a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=4/9(b/a)^2-4c/3a=4/9(b/a)^2+4b/3a+4/3
令b/a=t，-2<t<-1
|x1-x2|^2=(4/9)t^2+4t/3+4/3属于[3/4，1）
所以√3/3<=|x1-x2|<2/3