Question

为什么A选项不对

Answer 1

如果f'(x)在0的一个邻域内连续，于是在此邻域内f'(x)>0，故f(x)单调递增。因此反例只能从f'(x)在0不连续找。
考虑f(x)=x/2+x²sin1/x， (x≠0)，
f(x)=0 ，(x=0)。
用导数的定义，可知有f'(0)=lim [f(x)-f(0)]/x=1/2＞0，满足题干要求。
而当x≠0，即在0的某个邻域内，f'(x)=1/2+2xsin1/x-cos1/x。
当x取1/(2kπ)时，f'(x)=-1/2，
当x取1/(2kπ+π)时，f'(x)=3/2。
即说明在0的任意一个右邻域内，总有导数值大于0，也总有导数值小于0，因此f(x)不单调。