Question

高一数学集合练习题

若集合A={x│x=m²-n²,m∈Z,n∈Z}
1.求证：任何奇数都是A的元素、
2.求证：任何4k-2(k∈N*) 的偶数都不是A的元素、

Answer 1

1.设m=n+k，则m²-n²=（n+k）²-n²=k²+2nk=k（2n+k），当k=1时，m²-n²=2n+1，所以所有奇数都是A的元素。
2.m²-n²=（m+n)（m-n)，因为（m+n)+（m-n)=2m，所以（m+n)和（m-n)的奇偶性一定相同；4k-2=2*（2k-1），肯定是一奇一偶，奇偶性不同；所以4k-2肯定不是A的元素。

Answer 2

1.若假设m=n+a，则m2-n2=（n+a）2-n2=a2+2na=a（2n+a），当a=1时，m2-n2=2n+1，所以所有奇数都是A的元素。
2.m2-n2=（m+n)（m-n)，因为（m+n)+（m-n)=2m，所以（m+n)和（m-n)的奇偶性一定相同；4k-2=2*（2k-1），肯定是一奇一偶，奇偶性不同；所以4k-2肯定不是A的元素。