Question

高二数列问题。。高手进

1.已知无穷等比数列首项a1=1,所有项的和为S，前n项和为S，求lim（S1+S2+........+S下标n -nS）的值。

2.等差数列{an}中a4=14,前10项和S10=185
（1）求an
（2）将an中的第2项，第4项......，第2的n次项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n项和Gn

(2)

Answer 1

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
因为存在所有项的和，实际就是n趋于无穷的极限值，因此q<1,n趋于无穷时q^n->0.
=>S=a1/(1-q)

S1+S2+..+Sn
=a1/(1-q)*(1-q+1-q^2+...+1-q^n)
=a1/(1-q)*(n-(1-q^n)*q/(1-q))
=na1/(1-q)-a1*q*(1-q^n)/(1-q)^2

=>S1+S2+..+Sn-nS
=-a1*q*(1-q^n)/(1-q)^2
=>
lim（S1+S2+........+S下标n -nS）
=-a1*q/(1-q)^2
=-q/(1-q)^2

2.
设首项a1，公差d
a4=14
=》a4=a1+3d=14 (i)
S10=185
=>S10=10a1+45d=185 (ii)
(i)(ii)=>
a1=5,d=3

=>an=5+(n-1)*3=n+2

(2)
设bn=a(2^n)
则bn=2^n+2
令cn=bn-2
则cn=2^n
cn是公比为2的等比数列，首项c1=2，设cn的前n项和是Tn，则
Tn=2*(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2

因为cn=bn-2,因此数列bn的前n项和
Gn=Tn+n*2=2^(n+1)-2+2n

Answer 2

如图