Question

高二数列！！！高手请进！

已知数列a1,a2,......a30,其中a1,a2,....a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10,a11,...a20是公差为d的等差数列；a20，a21,.....,a30是公差为d^2的等差数列（d不等于0）
（1）a20=40，求d
(2)试写出a30关于d的关系式，并求出a30的取值范围
（3）续写已知数列，使得a30,a31,....,a40是公差为d^3的等差数列，.....，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

解：

(1)
a10=10,
a20=10+10d=40,
∴d=3.

(2)
a30=a20+10d^2
=10(1+d+d^2)(d≠0),
a30=10〔(d+1/2)^2+3/4〕,

当d∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,a30∈〔7.5,+∞).

(3)所给数列可推广为无穷数列{an},其中a1,a2,…,a10是首项为1,公差为1的等差数列,
当n≥1时,数列a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为dn的等差数列.
研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求a10(n+1)的取值范围.

研究的结论可以是:
a40=a30+10d^3
=10(1+d+d^2+d^3),

依次类推可得
a10(n+1)=10(1+d+…+d^n)
1.当d≠1时
a10(n+1)
=10(1+d+…+d^n)
=10*[1-d^(n+1)]/(1-d)

2.当d=1时
a10(n+1)
=10(1+d+…+d^n)
=10*(n+1)

当d＞0时,a10(n+1)的取值范围为(10,+∞)等.

Answer 2

1、
n=1 to 10时an=n
n=10 to 20时an=10+(n-10)d
则a20=10+10d=40
10d=30
d=3
2、
n=20 to 30时an=10+10d+(n-20)d^2
则a30=10d^2+10d+10(d<>0)
然后求值域就行了，注意定义域
3、
n=30 to 40时an=a30+(n-1)d^3
a40=10(d^3+d^2+d+1)
由不完全归纳法得
a(10n)=10(d^(n-1)+d^(n-2)+....+d+1)
接下来用归纳法证明下就行了

Answer 3

(1)因为a1,a2,....a10是首项为1，公差为1的等差数列，所以a10=10
因为a20=40，所以10+10d=40，所以d=3
(2)a30=10+10d+10d^2=10（d+1）^2-10d。因为d≠0,所以a30∈[15/2,+∞)
(3)a(10n+m)=10[d^(n+1) -1]/(d-1) +m*d^n

Answer 4

1)a10=10,a20=a10+10d=40所以d=3
2)a30=a20+10d²=10+10d+10d²所以a30∈[15/2,10)∪(10,＋∞)
3)a10n=10(1+d+d²+d³+…+d^(n-1))=10(1-d^n)/(1-d)当d＞0时a10n＞0，-1＜d＜0时a10n＞0，d≤-1时，n为基数时a10n＞0，n为偶数时a10n≤0

Answer 5

如图

Answer 6

1数列a1,a2,......a30,其中a1,a2,....a10是首项为1，公差为1的等差数列则由等差公式an=a1+(n-1)d得a10=10，同理a20=a10+10d=10+10d=40，则d=3；
2a30=10+10d+10d²=10（d+1/2）²+7.5，所以当d为-1/2时a30最小为7.5；
3an0=10+10d+10d~2+...+10d~（n-1）（n＞3）
dan0-an0=10d~n-10，an0=10（d~n-1）/（d-1），（n＞3）