Question

课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：

如图1，己知四边形ABCD中，AC平分 ∠DAB,∠DAB=60°∠B与∠D
互补，求证：AB+AD=根下3AC 。
小敏反复探索，不得其解。她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题。
（1）特殊情况入手
添加条件：“∠B=∠D ”, 如图2，可证AB+AD=根下3AC
。（请你完成此证明）

（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：
如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F。（请你补全证明）

Answer 1

方法一：
延长AB至E，使BE=DA，连接CE。
因为∠ABC与∠D互补，∠ABC与∠CBE互补，所以∠CBE=∠D。
又BE=DA，BE=BE，所以三角形CBE与三角形CDA全等。
所以∠CEB=∠CAD。
又因为AC平分∠DAB,∠DAB=60度，所以∠CAD=∠CAB=30度。
所以∠CEB=∠CAD=30度。
所以三角形CAE是等腰三角形，且底角是30 度。
所以底边AE=AB+BE=根号3AC，
所以 AB+AD=根号3AC

Answer 2

证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
∠CAD=∠CAB=
1
2
∠DAB=30°，
∵在△ADC中，cos30°=
AD
AC
，
在△ABC中，cos30°=
AB
AC
，
∴AB=

3

2
AC，AD=

3

2
AC．
∴AB+AD=
3
AC．

（2）由（1）知，AE+AF=
3
AC，
∵AC为角平分线，CF⊥CD，CE⊥AB，
∴CE=CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D=∠CBE．
∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，

∠CEB＝∠CFD
∠D＝∠CBE
CE＝CF

∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF=BE．
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=
3
AC．

Answer 3

望采纳

Answer 4