Question

文科数学问题。

已知函数f（x）=x三次方+px²+9qx+p+q+3（x∈R）的图像关于原点对称，其中p，q是常实数。
求p，q的值？ 答案中写道 因为f（x）是奇函数，所以偶次项系数p=0.本人对此不太理解，是否所有奇函数的偶次项系数都为0？

Answer 1

记S=Sin，C=Cos，'3'表3开方。mn=Cwx*Swx+'3'(Cwx)^2=（1/2)S2wx+('3'/2)C2wx+('3'/2)=S(2wx+兀/3)+('3'/2)。周期T=2兀/(2w）=3，w=兀/3，f(x)=Sin(2兀x/3+兀/3)+('3'/2)。2k兀-兀/2《2兀x+兀/3《2k兀+兀/2，同乘6/兀去分母:12k-3《12x+2《12k+3，单调增区间K-(5/12)《x《k+(1/12)。k兀=2兀x+兀/3，x=k/2-(1/6)，对称中心(k/2-1/6，0)。

Answer 2

主要是利用一个公式，如果是奇函数，f(-x)=-f(x)。-x三次方+px²-

9qx+p+q+3=-x三次方-px²-9qx-p-q-3 把本式子化简px²+p+q+3=-px²-p-q-3，

这个式子是恒等式，所以对应项系数相等。看出来了吧，p必须是0。p+q+3=0。

所以，只要是奇函数偶次项系数都为0。只要是偶函数，奇次项系数都为0。

Answer 3

有基函数
-f(x)=f(-x)
-x^3-px^2-9qx-p-q-3=-x^3+px^2-9qx+p+q+3
-px^2-p-q-3=px^2+p+q+3
2px^2+2(p+q+3)=0

上式对任意定义域内x均成立
所以x平方的系数2p和p+q+3必须恒等于0

所以奇函数的偶次项系数都为0包括常数项
当然仅限于 多项式函数和一些包含偶次项的函数
其他函数未必如此

不懂再问

Answer 4

f（x）是奇函数
f(-x)=-f(x)即f(-x)+f(x)=0
x^3+px^2+9qx+p+q+3-x^3+px^2-9qx+p+q+3=0
所以 2px^2+2(p+q+3)=0

要使上式对任意定义域内x均成立
则x平方的系数2p和p+q+3必须恒等于0

对于多项式函数和一些包含偶次项的函数，奇函数的偶次项系数都为0包括常数项