Question

几何难题{关于辅助线的}

以三角形abc边ab,ac向外做正方形abcd和acfg求若df平行于bc则ab等于ac反之若ab等于ac则df平行于bc

Answer 1

两个向外的正方形应该是ABDE和ACFG,

证明：

此题不难，

过A作AH⊥BC于H,过D作DM⊥BC于M,过F作FN⊥BC于N,

先由DF//BC证明AB=AC,

当DF//BC时，有

DM=FN,

即DB*sin∠DBM=FC*sin∠FCN,

因为AB=DB,FC=AC,

∴上式等价于

AB*cos∠ABC=AC*cos∠ACB,

即BH=HC,

又因为AH=AH,∠AHB=∠AHC=90°，

∴△AHB≌△AHC,

∴AB=AC,

反过来，已知AB=AC,求证DF//BC,

易证△AHB≌△AHC,

∴BH=CH

即AB*cos∠ABC=AC*cos∠ACB,

即AB*sin∠DBM=AC*sin∠FCN,

DB*sin∠DBM=CF*sin∠FCN,

∴DM=FN,

又因为DM⊥BC,FN⊥BC,DM//FN,

∴四边形DMNF是矩形，

∴DF//BC,

如有疑问可以提出，

谢谢！