设函数函数f(x)=lnx,g(x)=ax+b/x,f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上,且在此点有公共切线. (1

设函数函数f(x)=lnx,g(x)=ax+b/x,f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上,且在此点有公共切线.(1)求a、b的值。(2)以任意x>0,试比较... 设函数函数f(x)=lnx,g(x)=ax+b/x,f(x)的图象与x轴的交点也在函数g(x)的图象上,且在此点有公共切线.

(1)求a、b的值。
(2)以任意x>0,试比较f(x)与g(x)的大小。
要有解答分析过程
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zuhs
2010-09-06 · TA获得超过5346个赞
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解:

(1)

f(x)与x轴的交点(1,0)在g(x)上,

所以a+b=0,

在此点有公切线,即此点导数相等,

f'(x)=1/x,

g'(x)=a-(b/x²),

以上两式在x=1时相等,即1=a-b,

又因为a+b=0,

所以a=1/2,b=-1/2,

(2)

g(x)=(x/2)-[1/(2x)],

f(x)=lnx,

定义域x>0,

令h(x)=f(x)-g(x)=lnx-(x/2)+1/(2x)

对x求导,得

h'(x)=(1/x)-(1/2)-[1/(2x^2)]

=[2x-x^2-1]/(2x^2)

=-(x-1)^2/(2x^2)

∵x>0

∴h'(x)≤0

∴h(x)单调递减,

h(x)≤0

∴f(x)≤g(x)

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