Question

高中数学——函数概念

已知f（1）=2。对于正整数n，f（n+1）=f（n）^2-f（n）+1。求证：
1/f（1）+1/f（2）+ … +1/（n）<1
一楼，谢了。但是如果把数列变成函数的话过程变成怎样？最好要图

Answer 1

证
因已知 f(n+1)=[f(n)] ²- f(n)+1, 所以f(n+1) - f(n =[f(n)] ²- 2 f(n)+1= ( f(n)-1) ²≥0, 这说明f(n)随n递增而递增或相等, 但已知f(1)=2, 即f(n)最小值为2, 所以应为 f(n+1) - f(n =[f(n)] ²- 2 f(n)+1= ( f(n)-1) ²>0, 即f(n)随n递增而递增.
以下用 数学归纳法来证明:
⑴当n=1时, 因已知f(1)=2, 所以
1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（n ）)=1/(f（1）)=1/2<1,
待证命题在n=1时成立;
⑵设待证命题对任一正整数k亦正确, 即
1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（k ）)<1,
两边同加1/(f（k+1 ）)，得
1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（k）)+1/(f（k+1）)<1+1/(f（k+1）)= (f（k+1）+1)/(f（k+1）). ①
由已知 f(n+1)=[f(n)] ²- f(n)+1得f(k+1)=[f(k)] ²- f(k)+1，转换为1= f(k+1)+ f(k)- [f(k)] ²，替换①式左边分子的一个1，则

1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（k）)+1/(f（k+1）)<(f（k+1）+f(k+1)+ f(k)- [f(k)] ²)/(f（k+1）) =2+( f(k)(1-f(k)）)/(f（k+1）)，②
f(n)随n递增而递增，f（k+1 ）> f(k)，替换法，将②式左边的一个f(k) 替换为f（k+1 ），则

1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（k）)+1/(f（k+1）)<(f（k+1）+f(k+1)+ f(k)- [f(k)] ²)/(f（k+1）) =2+( f(k)(1-f(k)）)/(f（k+1 ）)<2+( f（k+1 ）(1-f(k)）)/(f（k+1 ）)=3- f(k)
因f(1)=2，f(n)随n递增而递增，所以f(k)≤2，所以
1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（k ）)+1/(f（k+1 ）)<1
即证明了当n=k+1时， 1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（n ）)<1正确，结合1.的结论，即证：
1/(f（1）) +1/(f（2）)+ … +1/(f（n ）)<1 （n∈N*，f(1)=2，f(n+1)=[f(n)] ²- f(n)+1）.

Answer 2

这其实是一个数列问题,下面是这个数列问题的答案见图片